TILLBEHÖR

Maths “Ă€ldsta problem nĂ„gonsin” fĂ„r ett nytt svar

Talteoretiker Ă€r det letar alltid efter dold struktur. Och nĂ€r de konfronteras med ett numeriskt mönster som verkar oundvikligt, testar de dess förmĂ„ga, försöker hĂ„rt – och ofta misslyckas – att skapa situationer dĂ€r ett givet mönster inte kan upptrĂ€da.

Ett av de senaste resultaten för att demonstrera motstÄndskraften hos sÄdana mönster, av Thomas Bloom vid University of Oxford, svarar pÄ en frÄga med rötter som strÀcker sig Ànda tillbaka till det antika Egypten.

“Det kan vara det Ă€ldsta problemet nĂ„gonsin,” sa Carl Pomerance frĂ„n Dartmouth College.

FrĂ„gan handlar om brĂ„k som har en 1 i sin tĂ€ljare, som 1⁄2, 1⁄7 eller 1⁄122. Dessa “enhetsbrĂ„k” var sĂ€rskilt viktiga för de gamla egyptierna eftersom de var de enda typer av brĂ„k som deras talsystem innehöll. Med undantag för en enda symbol för 2⁄3 kunde de bara uttrycka mer komplicerade brĂ„k (som 3⁄4) som summor av enhetsbrĂ„k (1⁄2 + 1⁄4).

Det moderna intresset för sĂ„dana summor fick ett uppsving pĂ„ 1970-talet, nĂ€r Paul ErdƑs och Ronald Graham frĂ„gade hur svĂ„rt det kunde vara att konstruera uppsĂ€ttningar av heltal som inte innehĂ„ller en delmĂ€ngd vars reciproka adderar till 1. Till exempel, set {2, 3, 6, 9, 13} klarar inte detta test: Den innehĂ„ller delmĂ€ngden {2, 3, 6}, vars reciproka Ă€r enhetsbrĂ„ken 1⁄2, 1⁄3 och 1⁄6—som summerar till 1.

Mer exakt antog ErdƑs och Graham att varje uppsĂ€ttning som samplar en tillrĂ€ckligt stor, positiv andel av hela talen – det kan vara 20 procent eller 1 procent eller 0,001 procent – ​​mĂ„ste innehĂ„lla en delmĂ€ngd vars reciproka adderar till 1. Om den initiala uppsĂ€ttningen uppfyller det enkla villkoret att sampla tillrĂ€ckligt mĂ„nga heltal (kĂ€nd som att ha “positiv densitet”), sĂ„ Ă€ven om dess medlemmar medvetet valdes för att göra det svĂ„rt att hitta den delmĂ€ngden, skulle delmĂ€ngden Ă€ndĂ„ behöva existera.

“Jag trodde bara att det hĂ€r var en omöjlig frĂ„ga som ingen med sitt fulla sinne nĂ„gonsin skulle kunna göra”, sĂ€ger Andrew Granville vid University of Montreal. “Jag sĂ„g inget uppenbart verktyg som kunde attackera det.”

Blooms engagemang i ErdƑs och Grahams frĂ„ga vĂ€xte fram ur en hemuppgift: I september förra Ă„ret blev han ombedd att presentera en 20 Ă„r gammal uppsats för en lĂ€sgrupp i Oxford.

Det papper, av en matematiker vid namn Ernie Croot, hade löst den sĂ„ kallade fĂ€rglĂ€ggningsversionen av ErdƑs-Graham-problemet. DĂ€r sorteras hela talen slumpmĂ€ssigt i olika hinkar betecknade med fĂ€rger: Vissa gĂ„r i den blĂ„ hinken, andra i den röda osv. ErdƑs och Graham förutspĂ„dde att oavsett hur mĂ„nga olika hinkar som anvĂ€nds i denna sortering, mĂ„ste minst en hink innehĂ„lla en delmĂ€ngd av heltal vars ömsesidiga summering Ă€r 1.

Croot introducerade kraftfulla nya metoder frĂ„n harmonisk analys – en gren av matematiken som Ă€r nĂ€ra relaterad till kalkyl – för att bekrĂ€fta ErdƑs-Grahams förutsĂ€gelse. Hans tidning publicerades i Annals of Mathematicsden bĂ€sta tidskriften inom omrĂ„det.

“Croots argument Ă€r en fröjd att lĂ€sa”, sĂ€ger Giorgis Petridis frĂ„n University of Georgia. “Det krĂ€ver kreativitet, uppfinningsrikedom och mycket teknisk styrka.”

Men lika imponerande som Croots papper var kunde det inte svara pĂ„ densitetsversionen av ErdƑs-Grahams gissning. Detta berodde pĂ„ en bekvĂ€mlighet som Croot utnyttjade som finns tillgĂ€nglig i den hinksorterande formuleringen, men inte i densiteten.

Den matematiska rullen kÀnd som Rhind-papyrusen, som gÄr tillbaka till omkring 1650 f.Kr., visar hur de gamla egyptierna representerade rationella tal som summor av enhetsbrÄk.Foto: Alamy

Back to top button

Ad blocker detected

You must remove the AD BLOCKER to continue using our website THANK YOU